در موضوع: استخراج معدن
بهینه سازى محدوده معدنکاری روباز با شیب دیواره کمتر از 1:1 با استفاده از الگوریتم برنامه ریزى پویا
خلاصه مطالب:
در میان الگوریتم های دو بعدی ای که تا کنون برای تعیین محدوده بهینه معدنکاری وباز ارائه شده است، الگوریتم برنامه ریزی پویا بدلیل بهره مندی از یک پشتوانه ریاضى غنى و ارائه تضمین در تعیین محدوده بهینه معدنکاری دارای مقبولیت و اعتبار بیشتری است. با کاربرد این الگوریتم مى توان محدوده بهینه معدنکاری روباز را با شیب های 1:1 و یا بیش از آن مثلا 2:1 یا 3:1( بر حسب ابعاد بلوک ها )، در مدل های اقتصادی دو بعدی تعیین نمود. اما گاهى شرایط ژئومکانیکى توده سنگ در تمام یا بخش های از معدن به گونه ای است که حتى شیب 1:1 نیز تامین کننده پایداری دیواره های معدن نمى باشد. در این شرایط الگوریتم برنامه ریزی پویا نمى تواند راه حلى برای تعیین محدوده بهینه معدنکاری روباز با شیب کمتر از 1:1 ارائه دهد و ضرورتا باید ساختار ابعادی مدل بلوکى و ابعاد بلوک ها به نحو مناسبى تغییر یابد. در این مقاله الگوریتم جدیدی بر پایه الگوریتم برنامه ریزی پویا ارائه شده است که با استفاده از آن مى توان محدوده بهینه معدنکاری را برای شیب های کمتر از 1:1 مثلا شیب 1:2 تعیین نمود. در الگوریتم پیشنهاد شده در این مقاله، با ساخت مدل های اقتصادی میانى و نهایى، محدودیت حداکثر شیب دیواره معدن بدون ایجاد تغییر در ابعاد بلوک های مدل اقتصادی اولیه، به مدل اقتصادی نهایى منتقل و الگوریتم مورد نظر برای یافتن محدوده بهینه معدنکاری بر روی آن اجرا مى شود.
واژه هاى کلیدى: معدن روباز، بهینه سا زى، محدود ه نهایى، شیب دیواره
پیش گفتار:
بطور کلی الگوریتم هاى موجود براى بهینه سازى محدوده نهایی معادن را از نظر منطق مورد استفاده در آنها می توان به دو گروه الگوریتم هاى داراى منطق ریاضی (Rigorous) و الگوریتم هاى داراى منطق جستجوگر(Heuristic) تقسیم کرد. الگوریتم برنامه ریزى پویا (Dynamic Programming) قدیمی ترین الگوریتمی است که با اتکاء بر منطق ریاضی و با مبنا قرار دادن مدل اقتصادى دو بعدى محدوده معدنکارى براى بهینه سازى اقتصادى محدوده نهایی معادن روباز به کار رفته است. کاربرد این الگوریتم براى بهینه سازى محدوده معدنکارى روباز اولین بار در سال 1965 توسط لرج و گراسمن (Lerch and Grossmann) و سیس در سال 1971 توسط جانسون و شارب (Johnson and Sharp) با ارائه یک راه حل سه بعدى تکمیل و تصحیح شد[2].
الگوریتم برنامه ریزى پویا در میان الگوریتم هاى دو بعدى اى که تا کنون براى تعیین محدوده بهینه معدنکارى روباز ارائه شده است، به دلیل بهره مندى از یک نظریه ریاضی غنی و ارائه تضمین در تعیین محدوده بهینه معدنکارى داراى مقبولیت و اعتبار بیشترى است. یکی از محدودیت هاى عمده الگوریتم مورد نظر، عدم قابلیت استفاده از ان براى جستجوى محدوده بهینه معدنکارى با شیب دیواره کمتر از 1:1 بر روى مدل بل وکی محدوده معدنکارى است. بنابراین استفاده از الگوریتم برنامه ریزى پویا براى تعیین محدوده معدنکارى با شیب کمتر از 1:1، تنها با تغییر ساختار ابعادى مدل بلوکی و ابعاد بلوک ها و سپس ساخت مدل بلوکی جدید امکان پذیر است. در این مقاله الگوریتم جدیدى بر پایه الگوریتم برنامه ریزى پویا ارائه شده است که با استفاده از ان می توان محدوده بهینه معدنکارى را براى شیب هاى کمتر از 1:1 مثلا شیب 2: 1 بدون تغییر ساختار ابعادى مدل بلوکی تعیین نمود
متن اصلی:
پیشینه و انگیزه طرح موضوع
به منظور کاربرد الگوریتم برنامه ریزى پویا با هدف بهینه سازى محدوده معدنکارى روباز ابتدا یک مدل بلوکی اقتصادى متعارف بصورت یک ماتریس دو بعدى با X سطر و Y ستون که هر یک از درایه هاى آن، Bx,y داراى ارزش اقتصادى mx,y است، ساخته می شود. سیس از الگوریتم متداول برنامه ریزى پویا براى بهینه سازى محدوده نهایی معادن روباز که مبتنی بر رابطه بازگشتی زیر است، استفاده می گردد[1].
(1)
که در آن:
xوy: شماره سطر و ستون هر بلوک در مدل بلوکی دو بعدى را نشان می دهند.
mg,y: ارزش اقتصادى بلو کی که در سطر q و ستون yام مدل اقتصادى جانمایى شده است.
Mx,y: ارزش اقتصادی تجمعى ستونى از بلوک ها که از بالاترین سطر تا بلوکى که در سطر xام و ستون yام (Bx,y) واقع است را در بر مى گیرد.
r: معرف اعداد صحیحى است که در هر موقعیت (Bx,y)، تعداد و موقعیت سطرهای واقع در ستون قبلى که باید برای رعایت شیب حداکثر محدوده نهایى معدنکاری بررسى شوند را نشان مى دهد.
Px,y: حداکثر ارزش محتمل برای ستون های 1 تا y در هر محدوده محتمل معدنکاری که بلوک Bx,y را در بر مى گیرد( بلوک Bx,y هم منظور مى شود ).
بنابر این کر در هر موقعیت مثل Bx,y، مقادیرr=-1,0,1 برای r منظور شود، با توجه به شکل 1- الف، سه بلوک واقع در موقعیت هایBx,y-1 , Bx-1,y-1 و Bx+1,y-1 در هنگام اجرای الگوریتم مورد بررسى قرار مى گیرند و به این ترتیب حداکثر شیب محدوده بهینه معدنکاری معادل 1: 1 خواهد بود. بر همین اساس چنانچه در موقعیت مذکور، مقادیر 2,r=-2,-l,0,l به r تخصیص شود، با توجه به شکل 1- ب، پنچ بلوک واقع در موقعیت های Bx-2,y-1، Bx-1,y-1 ، Bx,y-1 ، Bx+1,y-1 ، Bx+2,y-1 و در هنگام اجرای الگوریتم مورد بررسى قرار مى گیرند. در این شرایط حداکثر شیب محدوده بهینه معدنکاری معادل 2:1 خواهد بود.
اعمال شیب های متفاوت دیواره نهایى معدن برای بهینه سازی محدوده معدنکاری یکى از بزرگترین مشکلفىلى است که همواره در مبحث بهینه سازی محدوده معدنکاری روباز مطرح بوده است. شیب دیواره نهایى معدن را مى توان از طریق اعمال شیب مورد نظر بر روی مدل بلوکى محدوده معدنکاری و یا انتخاب الگوریتم هایى که توانایى جستجوی محدوده معدنکاری با شیب های دیواره متفاوت دارند، منظور نمود. بطور معمول در هنگام مدلسازی محدوده معدنکاری، ابعاد و نسبت ابعادی بلوک ها به گونه ای طراحى مى شوند که علاوه بر برآورده شدن نیازهای اساسى مدلسازی، حداکثر شیب دیواره نهایى معدن نیز تضمین شود. با این وجود در صورتى که یک الگوریتم در یک مدل بلوکى با ساختار ابعادی مشخص، قابلیت جستجوی محدوده بهینه معد!کاری با شیب های دیواره متفاوت را داشته باشد، امکانات و تسهیلات بیشتری در اختیار طراح قرار مى دهد.
شکل 1- نمایش شیب های 1:1 و2:1 بر اساس روش جستجو در الگوریتم برنامه ریزی پویا
الگوریتم برنامه ریزی پویا از گروه الگوریتم هایى است که قادر به جستجوی محدوده معدنکاری با شیب دیواره 1: 1 یا بیشتر است اما یکى از مهمترین محدودیتهای الگوریتم مورد نظر، عدم قابلیت استفاده از آن برای جستجوی محدوده بهینه معدنکاری با شیب دیواره کمتر از 1: 1 بر روی مدل بلوکى محدوده معدنکاری است. بنابراین در صورت اصرار به استفاده از الگوریتم برنامه ریزی پویا برای تعیین محدوده معد!کاری با شیب کمتر از 1: 1، ضرورتا باید ساختار ابعادی مدل بلوکى و ابعاد بلوک ها به نحو مناسبى تغییر یابد و مدل بلوکى جدیدی با توجه به محدودیت شیب دیواره نهایى محدوده معدنکاری تشکیل گردد. در این مقاله رهیافت جدیدی برای بهینه سازی محدوده معدنکاری باز بر پایه الگوریتم برنامه ریزی پویا ارائه شده است که به لحاظ دارا بودن دو ویژگى از اهمیت قابل توجهى برخوردار است. نخست آنکه با ارائه یک روش جدید محدودیت حداکثر شیب دیواره نهایى معدنکاری به مدل اقتصادی ویژه ای که الگوریتم مورد نظر بر روی آن اجرا مى شود، منتقل شده است و دوم اینکه با ارائه الگوریتم مذکور نقص الگوریتم برنامه ریزی پویای متعارف در بهینه سازی محدوده معدنکاری با شیب های دیواره نهایى کمتر از 1: 1 بدون تغییر ساختار ابعادی مدل بلوکى و ابعاد بلوک ها، مرتفع شده است.
مدلسازى محدوده معدنکارى
برای بهینه سازی محدوده معدنکاری لازم است ابتدا محدوده معدنکاری مدلسازی و سپس الگوریتم بهینه سازی بر روی مدل مورد نظر به کارگرفته شود. به منظور استفاده از الگوریتم ارائه شده در این مقاله، یک مدل اقتصادی دو بعدی ویژه که در آن محدودیت حداکثر شیب مجاز دیواره معدن منظور شده باشد، توسعه داده شده است. برای دست یابى به چنین مدلى باید ابتدا مدل اقتصادی محدوده معدنکاری با توجه به اطلاعات فنى و اقتصادی طرح تفهیمى معدنکاری، به عنوان مدل اولیه، ساخته شود و سپس با اضافه کردن محدودیت های فنى و هندسى روش استخراج، طى دو مرحله، ابتدا مدل اقتصادی میانى و سپس مدل اقتصادی نهایى که الگوریتم مورد نظر بر روی آن اجرا مى شود، تولید شود[3].
مدل اقتصادى اولیه
برای ساخت مدل اقتصادی اولیه، محدوده معدنکاری در هر مقطع قائم از کانسار و محدوده اطراف آن به بلوکهایى با ابعاد مشخص تقسیم مى شود. به این ترتیب با توجه به مقدار و عیار ماده معدنى و همچنین پارامترهای اقتصادی روش استخراج، مى توان ارزش اقتصادی هر یک از بلوکهای مورد نظر را تعیین و مدل اقتصادی اولیه محدوده معد!کاری را به صورت دو بعدی تولید نمود. برای کاربرد این الگوریتم در سه بعد باید مقاطع قائم کانسار به صورت متساوی الفاصله تهیه شود و بهینه سازی محدوده نهایى معدنکاری بر روی هر مقطع به صورت جدکانه و یا با در نظر گرفتن ارزش اقتصادی در مقاطع اطراف آن انجام پذیرد. طبیعى است که در این شرایط ممکن است محدوده های بهینه شده در مقاطع متوالى از نظر فنى و هندسى با هم سازگاری نداشته باشند و نیاز به سازگار نمودن مقاطع احساس شود.
در مدل اقتصادی اولیه، ابعاد بلوک ها در جهات قائم و افقى مى تواند با هم متفاوت باشد و بر اساس مشخصات هندسى روش استخراج، شرایط زمین شناسى، توزیع عیار و عوامل دیگر تعیین شود. در شکل 2 نمونه ای از مدل اقتصادی اولیه محدوده معد!کاری که در جهت افقى شامل 14 بلوک و در جهت قائم شامل 5 بلوک است، مشاهده مى شود.
شکل 2- نمونه ای از مدل اقتصادی اولیه از یک محدوده معدنکاری
با توجه به آنچه گفته شد، مدل اقتصادی اولیه در واقع یک ماتریس دو بعدی است که هر یک از درایه های آن،mx,y ، ارزش اقتصادی یک بلوک که در سطر xام و ستون yام واقع است را نشان مى دهد. تعداد ستونهای این ماتریس، Y، نشان دهنده تعداد بلوک ها در جهت افقى و تعداد سطرهای آن، کل بیان کننده تعداد بلوک های مدل اقتصادی اولیه در جهت قائم است.
مدل اقتصادى میانى
مدل اقتصادی میانى با هدف منظور کردن مهمترین محدودیت هندسى معدنکاری باز که بر اساس آن برای استخراج هر بلوک لزوما باید بلوک های بالایى آن نیز استخراج شوند، ساخته مى شود. برای ساخت مدل اقتصادی میانى، در صورتى که حداکثر شیب دیواره مورد نظر بر حسب تعداد بلوک1:l باشد(l>2)، ابتدا باید تعداد l-1 ستون مجازی که هر یک مشتمل بر x بلوک با ارزش اقتصادی منفى بسیار بزرگ است از سمت چپ به ستون های مدل اقتصادی اولیه اضافه شود. سپس یک مجموعه بلوک به صورت یک سطر با ارزش اقتصادی صفر به بالاترین ردیف مدل اقتصادی اولیه اضافه گردد. در این شرایط چنانچه تعداد سطرهای مدل اقتصادی میانى با I و تعداد ستونهای آن با J نشان داده شود، مى توان گفت که تعداد سطرهای مدل اقتصادی میانى،I، به تعداد یک سطر و تعداد ستون های آن،J، به تعدادl-1 ستون بیشتر از تعداد ستون های مدل اقتصادی اولیه است.
به عبارت دیگر:
(2)
کر شماره هر ستون در مدل اقتصادی میانى j >1 ز نشان داده شود، بین شماره ستون های مدل اقتصادی اولیه و میانى رابطه زیر برقرار است:
(3)
به همین ترتیب چنانچه شماره هر سطر در مدل اقتصادی میانى با i >0 نشان داده شود، بین شماره سطرهای مدل اقتصادی اولیه و میانى رابطه ذیل برقرار خواهد بود:
در واقع در مدل اقتصادی میانى سطر i=0 به شمار سطرهای قبلى در مدل اقتصادی اولیه یعنى x=1,2,…,X اضافه شده است. در شکل شماره 3، مدل اقتصادی میانى برای محدوده معدنکاری ای که مدل اقتصادی اولیه آن در شکل شماره 2 آمده است، مشاهده مى گردد. بالاترین سطر این مدل، ارزش اقتصادی بلوک های استخراجى مجازی را که با شماره سطر i=0 معرفى شده اند، نشان مى دهد.
شکل 3- مدل اقتصادی میانی محدوده معدنکاری
طبیعى است که تخصیص یک عدد منفى بزرگ به عنوان ارزش اقتصادی بلوک هایى که در خارج از محدوده معدنکاری قرار دارند، سبب مى شود بلوک های مجازی مورد نظر که صرفا بدلیل عمومیت بخشیدن به موضوع مدلسازی به مدل اقتصادی نهایى اضافه شده اند، در محدوده معدنکاری واقع نشوند.
همانطور که ذکر شد، ساخت و ارزش گذاری بلوک های مدل اقتصادی میانى، با هدف تامین محدودیت هندسى معدنکاری روباز که بر اساس آن برای استخراج هر بلوک لزوما باید تمام بلوک های واقع در ترازهای بالایى آن نیز استخراج شوند، انجام مى شود. بنابراین برای ارزش گذاری بلوک های مدل اقتصادی، ارزش اقتصادی هر بلوک با ارزش اقتصادی تمام بلوک های بالاتر از آن جمع مى شود. به این ترتیب ارزش اقتصادی بلوک های تشکیل دهنده مدل اقتصادی میانى با استفاده از روابط ذیل محاسبه مى گردد.
(5)
(6)
که در آن:
Mi,j: ارزش اقتصادی هر یک از بلوک های مدل اقتصادی میانى،
mx,y :ارزش اقتصادی هر یک از بلوک های مدل اقتصادی اولیه،
u: یک عدد صحیح مثبت بسیار بزرگ،
x: شماره سطر در مدل اقتصادی اولیه،
y: شماره ستون در مدل اقتصادی اولیه،
Y: تعداد ستون ها در مدل اقتصادی اولیه،
i: شماره سطر در مدل اقتصادی میانى،
j: شماره ستون در مدل اقتصادی میانى،
J: تعداد ستون ها در مدل اقتصادی میانى و
I: معکوس حداکثر شیب دیواره نهایى محدوده معدنکاری است.
مدل اقتصادى نهایى
با در دست داشتن مدل اقتصادی میانى مى توان مدل اقتصادی نهایى محدوده معدنکاری را که در آن محدودیت شیب مجاز دیواره ها منظور مى شود، تولید نمود. در صورتى که از نظر هندسى محدودیتى برای شیب دیواره نهایى معدن لحاظ نشود، حداکثر شیب دیواره نهایى محدوده معدنکاری به مشخصات ژئومکانیکى سنگ در برگیرنده معدن وابسته خواهد بود.
همانطور که ذکر شد، به طور معمول الگوریتم برنامه ریزی پویا برای جستجوی محدوده بهینه معدنکاری روباز با شیب 1: 1 یا بیشتر مورد استفاده قرار مى گیرد بنابراین در این حالت برای بهینه سازی محدوده معدنکاری با شیب دیواره مشخص، لازم است در هنگام مدلسازی، ابعاد بلوک ها در جهات قائم و افقى به گونه ای انتخاب شوند که با کاربرد الگوریتم مذکور شیب دیواره نهایى معدن تامین گردد. اما تغییر مشخصات ابعادی مدل بلوکى به دلیل آنکه باعث تغییر ارزش اقتصادی بلوک ها و تکرار محاسبات اقتصادی آنها مى شود، کار دشواری است. در چنین شرایطى به منظور پرهیز از مشکلات ناشى از تغییر مشخصات ابعادی مدل بلوکى باید حتى الامکان قابلیت جستجوی محدوده نهایى معدنکاری با شیب های متفاوت دیواره را در الگوریتم مورد استفاده نهادینه نمود.
مدل اقتصادی نهایى با اعمال محدودیت حداکثر شیب دیواره نهایى و بر مبنای مدل اقتصادی میانى ساخته مى شود. با ساخت این مدل زمینه لازم برای استفاده از الگوریتم برنامه ریزی پویای تصحیح شده و تعیین محدوده بهینه معدنکاری فراهم مى شود.
ارزش اقتصادی هر بلوک در مدل اقتصادی نهایى که در واقع یکى از درایه های یک ماتریس دو بعدی با ابعاد I وJ است را مى توان با تابع دو ضابطه ای ذیل تعیین نمود.
(7)
که در آن:
MFi,j :ارزش اقتصادی بلوک واقع در سطر iام و ستون j ام در مدل اقتصادی نهایى،
r : یک اندیس شمارنده است و سایر پارامترها پیش از این تعریف شده اند.
به عنوان مثال ارزش اقتصادی بلوک واقع در سطر سوم و ستون هشتم مدل اقتصادی نهایى،MF3,8، در شرایطى که شیب دیواره نهایى معدن 2: 1 در نظر گرفته شود، به ترتیب زیر محاسبه مى شود:
مقادیر M3,7 و M3,8 را مى توان از مدل اقتصادی میانى مربوط به محدوده معدنکاری که در شکل شماره 3 آمده است، استخراج نمود. به این ترتیب:
.
در شکل شماره 4 مدل اقتصادی نهایى متناظر با مدل میانى ارائه شده در شکل شماره 3، در شرایطى که 2=l در نظر گرفته شده است، ملاحظه مى شود.
شکل 4- مدل اقتصادی نهایی محدوده معدنکاری
منطق الگوریتم پیشنهاد شده
الگوریتمى که در این مجموعه ارائه شده یک الگوریتم دو بعدی است که بر روی مدل اقتصادی نهایى تعریف شده است. جستجوی محدوده بهینه معدنکاری و تعیین ارزش اقتصادی متناسب با محدوده مذکور بر روی این مدل اقتصادی با استفاده از یک تابع دو ضابطه ای تکرار شونده که منطق آن مشابه منطق الگوریتم برنامه ریزی پویا است، انجام مى شود.
با کاربرد این الگوریتم و استفاده از تابع دو ضابطه ای ذیل ارزش محدوده های معدنکاری مختلف محاسبه و با ارزش ترین محدوده معل!کاری بر روی مدل اقتصادی نهایى مشخص مى گردد.
(8)
(9)
که در آن:
Pi,j: حداکثر ارزش محدوده معدنکاری منتهى به بلوک واقع در سطر iام و ستون j ام،
k: یک اندیس شمارنده و سایر پارامترها پیش از این تعریف شده اند.
طبیعى است که به ازای i=0 تنها مقادیر k=0,1 و به ازای i=I صرفا مقادیر k=-1,0 اعتبار خواهند داشت.
در شکل شماره 5 نتیجه اجرای الگوریتم مورد نظر بر روی مدل نهایى ارائه شده در شکل شماره 4 به همراه مسیر دست یابى به محدوده معدنکاری بهینه، آورده شده است. همانطور که در این شکل مشاهده مى شود، مسیر دست یابى به محدوده معدنکاری بهینه با انتخاب با ارزش ترین بلوک های مجاور دوتایى( در حالت کلى l تایى )شروع و در ستون های بعدی ادامه مى یابد. حداکثر ارزش اقتصادی محدوده معدنکاری در این مثال برابر با 26 واحد است.
شکل 5- ارزش اقتصادی محدوده های معدنکاری و مسیر حداکثر ارزش اقتصادی
در شکل شماره 6 محدوده بهینه معدنکاری بر روی مدل اقتصادی اولیه، با توجه به مسیر دست یابى به محدوده بهینه معدنکاری که در شکل شماره 5 نشان داده شده است، مشاهده مى شود. همانطور که در این شکل ملاحظه مى شود، حداکثر شیب دیواره نهایى معدن 2: 1 است.
شکل 6- محدوده بهینه معدنکاری
نتیجه گیری:
الگوریتم ارائه شده یک الگوریتم دو بعدی است که به لحاظ برخورداری از منطق شناخته شده برنامه ریزی پویا از یک نظریه قوی ریاضى بهره مى برد. در الگوریتم جدید ارائه شده، محدودیت الگوریتم برنامه ریزی پویا برای جستجوی محدوده بهینه معدنکاری با شیب دیواره کمتر از 1: 1 بر طرف شده است. در این الگوریتم ابتدا با ساخت یک مدل اقتصادی ویژه محدودیت حداکثر شیب دیواره نهایى معدن به مدل اقتصادی محدوده معدنکاری منتقل مى شود و سپس محدوده بهینه معدنکاری با شیب های دیواره کمتر از 1: 1، به عنوان مثال شیب دیواره 1:2، بدون تغییر ساختار ابعادی مدل بلوکى و ابعاد بلوک ها تعیین مى شود. بدین ترتیب در شرایطى که به دلیل تغییر مشخصات ژئومکانیکى توده سنگ در تمام یا بخش هایى از معدن، شیب دیواره 1: 1 تامین کننده پایداری دیواره نهایى معدن نباشد، مى توان با استفاده از الگوریتم مورد نظر محدوده بهینه معدنکاری باز با شیب دیواره نهایى کمتر از 1: 1 را تعیین نمود